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蜘蛛的几何学

当我(wo)(wo)们观察着园蛛(zhu)，尤其是丝光蛛(zhu)和条纹蛛(zhu)的(de)(de)(de)(de)网时，我(wo)(wo)们会(hui)发现它的(de)(de)(de)(de)网并不是杂乱无章的(de)(de)(de)(de)，那些(xie)辐(fu)排得很均匀，每(mei)对相(xiang)邻(lin)的(de)(de)(de)(de)辐(fu)所交(jiao)成的(de)(de)(de)(de)角都是相(xiang)等的(de)(de)(de)(de)；虽然辐(fu)的(de)(de)(de)(de)数目(mu)对不同的(de)(de)(de)(de)蜘蛛(zhu)而言是各不相(xiang)同的(de)(de)(de)(de)，可这个规律适用于(yu)各种蜘蛛(zhu)。

我(wo)们(men)已经(jing)知道，蜘蛛(zhu)织网的(de)(de)方(fang)(fang)式(shi)很特别，它把网分(fen)成若(ruo)干等(deng)份(fen)，同一(yi)(yi)类蜘蛛(zhu)所(suo)分(fen)的(de)(de)份(fen)数(shu)是(shi)相(xiang)同的(de)(de)。当它安置辐的(de)(de)时候，我(wo)们(men)只见(jian)它向各(ge)个方(fang)(fang)向乱跳(tiao)，似乎毫无(wu)(wu)规则，但(dan)是(shi)这种无(wu)(wu)规则的(de)(de)工作的(de)(de)结果是(shi)造成一(yi)(yi)个规则而美丽的(de)(de)网，像教堂中的(de)(de)玫瑰窗一(yi)(yi)般。即使(shi)他用了圆规、尺子之(zhi)类的(de)(de)工具。没有一(yi)(yi)个设计家能(neng)画出一(yi)(yi)个比这更规范的(de)(de)网来。

我们(men)可(ke)以(yi)看(kan)到，在同(tong)一个(ge)(ge)扇形里(li)，所有的(de)(de)(de)弦(xian)，也就(jiu)(jiu)是(shi)那构(gou)成(cheng)螺旋形线圈(quan)的(de)(de)(de)横辐(fu)，都是(shi)互相平行的(de)(de)(de)，并且越靠近中(zhong)(zhong)心(xin)，这(zhei)种弦(xian)之间(jian)的(de)(de)(de)距离就(jiu)(jiu)越远(yuan)。每一根弦(xian)和支持它的(de)(de)(de)两根辐(fu)交成(cheng)四个(ge)(ge)角，一边(bian)的(de)(de)(de)两个(ge)(ge)是(shi)钝角，另一边(bian)的(de)(de)(de)两个(ge)(ge)是(shi)锐角。而同(tong)一扇形中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)弦(xian)和辐(fu)所交成(cheng)的(de)(de)(de)钝角和锐角正好各自(zi)相等——因为这(zhei)些弦(xian)都是(shi)平行的(de)(de)(de)。

不(bu)但(dan)如(ru)此(ci)，凭我(wo)们的(de)(de)观察，这些相(xiang)等的(de)(de)锐(rui)角(jiao)和(he)钝(dun)角(jiao)，又和(he)别的(de)(de)扇(shan)形(xing)中(zhong)的(de)(de)锐(rui)角(jiao)和(he)钝(dun)角(jiao)分别相(xiang)等，所以，总的(de)(de)看来(lai)，这螺旋形(xing)的(de)(de)线圈包括一组组的(de)(de)横档以及一组组和(he)辐交成相(xiang)等的(de)(de)角(jiao)。

这种(zhong)(zhong)特性使我们(men)(men)想到数(shu)(shu)学家们(men)(men)所称的(de)“对数(shu)(shu)螺线(xian)(xian)(xian)”。这种(zhong)(zhong)曲线(xian)(xian)(xian)在(zai)科学领(ling)域是(shi)(shi)很(hen)(hen)著名的(de)。对数(shu)(shu)螺线(xian)(xian)(xian)是(shi)(shi)一根(gen)无止尽的(de)螺线(xian)(xian)(xian)，它永(yong)远(yuan)向(xiang)着极绕(rao)，越绕(rao)越靠近(jin)极，但又(you)永(yong)远(yuan)不(bu)能到达极。即使用最精(jing)密的(de)仪器，我们(men)(men)也看不(bu)到一根(gen)完全的(de)对数(shu)(shu)螺线(xian)(xian)(xian)。这种(zhong)(zhong)图形只存在(zai)科学家的(de)假想中，可(ke)令人惊讶的(de)是(shi)(shi)小(xiao)小(xiao)的(de)蜘蛛也知道这线(xian)(xian)(xian)，它就(jiu)是(shi)(shi)依照这种(zhong)(zhong)曲线(xian)(xian)(xian)的(de)法则来绕(rao)它网上的(de)螺线(xian)(xian)(xian)的(de)，而(er)且做(zuo)得(de)很(hen)(hen)精(jing)确。

这螺(luo)旋线(xian)还有(you)一(yi)个(ge)特点。如(ru)果你用一(yi)根(gen)有(you)弹性(xing)的(de)(de)(de)线(xian)绕成一(yi)个(ge)对数螺(luo)线(xian)的(de)(de)(de)图(tu)形，再把这根(gen)线(xian)放开来，然后拉(la)紧放开的(de)(de)(de)那(nei)部(bu)分，那(nei)么线(xian)的(de)(de)(de)运(yun)动的(de)(de)(de)一(yi)端就会划(hua)成一(yi)个(ge)和原来的(de)(de)(de)对数螺(luo)线(xian)完全(quan)相似的(de)(de)(de)螺(luo)线(xian)，只是(shi)变(bian)换了一(yi)下位置。这个(ge)定理是(shi)一(yi)位名叫杰克斯·勃诺利的(de)(de)(de)数学教(jiao)授发现的(de)(de)(de)，他死后，后人把这条定理刻在他的(de)(de)(de)墓碑上，算是(shi)他一(yi)生中最为光荣(rong)的(de)(de)(de)事迹之(zhi)一(yi)。

那(nei)(nei)么(me)，难(nan)道有着(zhe)这些特性的对数螺(luo)线只是几何学家的一个梦想吗？这真(zhen)的仅(jin)仅(jin)是一个梦、一个谜吗？那(nei)(nei)么(me)它究竟(jing)有什么(me)用呢？

它(ta)确实广泛(fan)的(de)(de)巧合，总之它(ta)是(shi)普遍存在(zai)的(de)(de)，有许多动(dong)物的(de)(de)建筑(zhu)都采(cai)取这一(yi)结构。有一(yi)种蜗(wo)牛的(de)(de)壳(qiao)(qiao)就(jiu)是(shi)依照对(dui)数(shu)螺线构造的(de)(de)。世界上第(di)一(yi)只蜗(wo)牛知道了对(dui)数(shu)螺线，然后用(yong)它(ta)来造壳(qiao)(qiao)，一(yi)直到现(xian)在(zai)，壳(qiao)(qiao)的(de)(de)样子(zi)还没变过(guo)。

在(zai)(zai)壳类的(de)(de)(de)化石中(zhong)，这种(zhong)螺线的(de)(de)(de)例子还(hai)有(you)很多。现在(zai)(zai)，在(zai)(zai)南海，我们(men)还(hai)可以找(zhao)到一种(zhong)太古时代的(de)(de)(de)生(sheng)物的(de)(de)(de)后(hou)代，那就(jiu)是(shi)(shi)(shi)鹦鹉(wu)螺。它们(men)还(hai)是(shi)(shi)(shi)很坚贞(zhen)地守着祖传的(de)(de)(de)老法(fa)则，它们(men)的(de)(de)(de)壳和世界(jie)初始时它们(men)的(de)(de)(de)老祖宗的(de)(de)(de)壳完全一样(yang)。也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)说(shuo)，它们(men)的(de)(de)(de)壳仍(reng)然是(shi)(shi)(shi)依照对数螺线设(she)计的(de)(de)(de)。并(bing)没有(you)因(yin)时间的(de)(de)(de)流逝而改(gai)变，就(jiu)是(shi)(shi)(shi)在(zai)(zai)我们(men)的(de)(de)(de)死水(shui)池里，也有(you)一种(zhong)螺，它也有(you)一个螺线壳，普通的(de)(de)(de)蜗(wo)牛壳也是(shi)(shi)(shi)属(shu)于这一构造。

可(ke)是(shi)这(zhei)些动物是(shi)从哪里学到这(zhei)种(zhong)高(gao)深的(de)数学知识(shi)的(de)呢？又是(shi)怎样把(ba)这(zhei)些知识(shi)应用于实际的(de)呢？有这(zhei)样一种(zhong)说(shuo)法，说(shuo)蜗牛是(shi)从蠕(ru)虫(chong)进化来的(de)。某一天，蠕(ru)虫(chong)被太(tai)阳晒(shai)得(de)舒(shu)(shu)服(fu)极了，无(wu)意识(shi)地(di)揪住自(zi)己的(de)尾(wei)巴玩弄(nong)起(qi)来，便(bian)把(ba)它绞(jiao)成(cheng)螺(luo)旋(xuan)形(xing)取乐。突(tu)然它发现(xian)这(zhei)样很舒(shu)(shu)服(fu)，于是(shi)常常这(zhei)么(me)做。久(jiu)而(er)久(jiu)之便(bian)成(cheng)了螺(luo)旋(xuan)形(xing)的(de)了，做螺(luo)旋(xuan)形(xing)的(de)壳的(de)计划，就是(shi)从这(zhei)时候(hou)产(chan)生的(de)。

但(dan)(dan)是(shi)(shi)蜘蛛呢？它(ta)从哪里得到这(zhei)个(ge)概(gai)念呢？因(yin)为它(ta)和蠕虫没(mei)有什么(me)(me)关系。然而(er)它(ta)却很熟悉对数螺线，而(er)且(qie)能(neng)(neng)够简单地(di)运用到它(ta)的(de)(de)(de)网(wang)中。蜗(wo)牛的(de)(de)(de)壳(qiao)要(yao)造(zao)好(hao)几(ji)年(nian)，所以它(ta)能(neng)(neng)做(zuo)(zuo)得很精(jing)致(zhi)，但(dan)(dan)蛛网(wang)差不多只(zhi)用一个(ge)小时就造(zao)成了(le)，所以它(ta)只(zhi)能(neng)(neng)做(zuo)(zuo)出这(zhei)种曲线的(de)(de)(de)一个(ge)轮廊，尽(jin)管不精(jing)确，但(dan)(dan)这(zhei)确实是(shi)(shi)算得上一个(ge)螺旋曲线。是(shi)(shi)什么(me)(me)东西在指引着(zhe)(zhe)它(ta)呢？除了(le)天生的(de)(de)(de)技(ji)巧外(wai)，什么(me)(me)都没(mei)有。天生的(de)(de)(de)技(ji)巧能(neng)(neng)使动物控制自(zi)己(ji)的(de)(de)(de)工作，正像植物的(de)(de)(de)花瓣和小蕊的(de)(de)(de)排列法，它(ta)们(men)天生就是(shi)(shi)这(zhei)样的(de)(de)(de)。没(mei)有人教它(ta)们(men)怎么(me)(me)做(zuo)(zuo)，而(er)事实上，它(ta)们(men)也只(zhi)能(neng)(neng)作这(zhei)么(me)(me)一种，蜘蛛自(zi)己(ji)不知不觉地(di)在练习高等几(ji)何学，靠着(zhe)(zhe)它(ta)生来就有的(de)(de)(de)本领很自(zi)然地(di)工作着(zhe)(zhe)。

我们抛出一个石子(zi)，让它落到地上，这(zhei)石子(zi)在空间的(de)路线(xian)是(shi)一种(zhong)特殊(shu)的(de)曲(qu)(qu)线(xian)。树上的(de)枯叶被风吹下来落到地上，所(suo)经过的(de)路程也是(shi)这(zhei)种(zhong)形状的(de)曲(qu)(qu)线(xian)。科学家称这(zhei)种(zhong)曲(qu)(qu)线(xian)为抛物线(xian)。

几何学(xue)家对这曲线(xian)作了进一(yi)(yi)(yi)步的(de)研(yan)究，他(ta)们假想这曲线(xian)在一(yi)(yi)(yi)根无限(xian)长的(de)直线(xian)上滚动，那么(me)它的(de)焦(jiao)点将要划出怎(zen)样(yang)一(yi)(yi)(yi)道轨迹(ji)呢？答(da)案是：垂(chui)曲线(xian)。这要用一(yi)(yi)(yi)个很(hen)复杂的(de)代数(shu)式来表(biao)示。如果要用数(shu)字来表(biao)示的(de)话，这个数(shu)字的(de)值约等于这样(yang)一(yi)(yi)(yi)串(chuan)数(shu)字1＋1/1＋1/1*2＋1/1*2*3＋1/1*2*3*4＋……的(de)和。

几(ji)何学家不喜欢用这么一长串数(shu)字来(lai)表(biao)示，所以就用“e”来(lai)代表(biao)这个数(shu)。e是一个无限不循环小数(shu)，数(shu)学中常常用到它。

这(zhei)(zhei)(zhei)种线(xian)是(shi)(shi)不是(shi)(shi)一(yi)种理论上(shang)(shang)的(de)(de)(de)假想呢？并(bing)不，你到(dao)处可以(yi)看(kan)到(dao)垂曲线(xian)的(de)(de)(de)图形(xing)(xing)：当(dang)一(yi)根(gen)(gen)弹性线(xian)的(de)(de)(de)两端固定(ding)，而中(zhong)间松驰的(de)(de)(de)时候，它(ta)就形(xing)(xing)成了一(yi)条垂曲线(xian)；当(dang)船的(de)(de)(de)帆被风(feng)吹着的(de)(de)(de)时候，就会弯(wan)曲成垂曲线(xian)的(de)(de)(de)图形(xing)(xing)；这(zhei)(zhei)(zhei)些(xie)寻常的(de)(de)(de)图形(xing)(xing)中(zhong)都包含着“e”的(de)(de)(de)秘密。一(yi)根(gen)(gen)无(wu)足轻重的(de)(de)(de)线(xian)，竟(jing)包含着这(zhei)(zhei)(zhei)么多深奥的(de)(de)(de)科学！我们暂且别惊(jing)讶。一(yi)根(gen)(gen)一(yi)端固定(ding)的(de)(de)(de)线(xian)的(de)(de)(de)摇(yao)摆(bai)，一(yi)滴露(lu)水从草叶上(shang)(shang)落下来，一(yi)阵微风(feng)在水面拂起了微波，这(zhei)(zhei)(zhei)些(xie)看(kan)上(shang)(shang)去(qu)(qu)稀松平常、极为平凡的(de)(de)(de)事，如果(guo)从数学的(de)(de)(de)角(jiao)度去(qu)(qu)研究(jiu)的(de)(de)(de)话，就变得非常复(fu)杂了。

我(wo)们(men)人类(lei)的(de)数学测(ce)量方法(fa)是(shi)(shi)聪(cong)明的(de)。但我(wo)们(men)对发明这些方法(fa)的(de)人，不必过分地(di)佩服。因为(wei)和(he)那些小动物的(de)工(gong)作比起(qi)来(lai)，这些繁(fan)重的(de)公式和(he)理论显得又(you)慢又(you)复(fu)杂。难(nan)(nan)道(dao)将来(lai)我(wo)们(men)想(xiang)不出一个更简(jian)单(dan)的(de)形式，并(bing)使它运用到(dao)实(shi)际(ji)生活中吗？难(nan)(nan)道(dao)人类(lei)的(de)智慧还不足以让我(wo)们(men)不依赖这种(zhong)复(fu)杂的(de)公式吗？我(wo)相(xiang)信，越是(shi)(shi)高深的(de)道(dao)理，其表(biao)现形式越应该简(jian)单(dan)而朴实(shi)。

在(zai)这(zhei)(zhei)里(li)，我们这(zhei)(zhei)个(ge)魔术般的(de)“e”字又(you)在(zai)蜘蛛网上被发现(xian)了(le)。在(zai)一个(ge)有雾的(de)早晨，这(zhei)(zhei)粘性的(de)线上排了(le)许(xu)多小(xiao)小(xiao)的(de)露珠。它的(de)重量把蛛网的(de)丝(si)压得弯下(xia)来，于是(shi)构(gou)成了(le)许(xu)多垂曲(qu)线，像许(xu)多透明的(de)宝石串(chuan)(chuan)成的(de)链子。太阳(yang)一出(chu)来，这(zhei)(zhei)一串(chuan)(chuan)珠子就发出(chu)彩虹(hong)一般美(mei)丽(li)的(de)光(guang)彩。好像一串(chuan)(chuan)金(jin)钢钻。“e”这(zhei)(zhei)个(ge)数目(mu)，就包蕴在(zai)这(zhei)(zhei)光(guang)明灿烂的(de)链子里(li)。望着(zhe)这(zhei)(zhei)美(mei)丽(li)的(de)链子，你会发现(xian)科(ke)学之美(mei)、自(zi)然之美(mei)和(he)探究之美(mei)。

几何(he)学，这(zhei)研究空间(jian)的(de)(de)和谐的(de)(de)科学几乎统治着自然界(jie)的(de)(de)一切(qie)。在(zai)(zai)(zai)铁杉果的(de)(de)鳞片的(de)(de)排(pai)列中(zhong)以及蛛网的(de)(de)线条排(pai)列中(zhong)，我(wo)们(men)(men)能(neng)找(zhao)到(dao)(dao)它(ta)；在(zai)(zai)(zai)蜗(wo)牛的(de)(de)螺(luo)线中(zhong)，我(wo)们(men)(men)能(neng)找(zhao)到(dao)(dao)它(ta)；在(zai)(zai)(zai)行(xing)星的(de)(de)轨道上，我(wo)们(men)(men)也能(neng)找(zhao)到(dao)(dao)它(ta)，它(ta)无(wu)处不在(zai)(zai)(zai)，无(wu)时不在(zai)(zai)(zai)，在(zai)(zai)(zai)原子的(de)(de)世界(jie)里，在(zai)(zai)(zai)广大的(de)(de)宇宙中(zhong)，它(ta)的(de)(de)足迹遍(bian)布天(tian)下。

这种自(zi)然的(de)(de)(de)几何(he)学告诉我们，宇宙间有一位万(wan)(wan)能的(de)(de)(de)几何(he)学家，他(ta)已经用(yong)它神(shen)奇(qi)的(de)(de)(de)工具测量过(guo)宇宙间所有的(de)(de)(de)东西。所以万(wan)(wan)事(shi)万(wan)(wan)物都(dou)有一定的(de)(de)(de)规律。我觉得用(yong)这个假(jia)设来(lai)解释鹦鹉螺(luo)(luo)和(he)蛛网的(de)(de)(de)对数螺(luo)(luo)线，似乎比蠕虫绞(jiao)尾巴(ba)而(er)造成螺(luo)(luo)线的(de)(de)(de)说法更恰(qia)当。

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